Tentukan hasil dari \( \displaystyle \int \frac{1}{e^x + 1} \ dx = \cdots \ ? \)
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \(u = e^{-x} + 1\), sehingga:
\begin{aligned} u &= e^{-x} + 1 \Leftrightarrow u = \frac{1}{e^x} + \frac{e^x}{e^x} \Leftrightarrow u \ e^x = e^x + 1 \\[8pt] \frac{du}{dx} &= -e^{-x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{e^x} \Leftrightarrow dx = -e^x \ du \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int \frac{1}{e^x + 1} dx &= \int \frac{-e^x \ du}{e^x \ u} = - \int \frac{1}{u} \ du \\[8pt] &= - \ln|u| + C = -\ln |e^{-x} + 1| + C \\[8pt] &= -\ln \left|\frac{e^x+1}{e^x} \right| + C \\[8pt] &= \ln \left|\frac{e^x}{e^x+1} \right| + C \end{aligned}